目前日期文章:200702 (10)

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同樣的,女人之間的情誼,也和一般的刻板印象類似:比較親密,重視情感的鍊結分享,不畏懼情緒的表現。我一直覺得我們這一群女生是很有趣的一群。每個人都很優秀聰明不說,做起事情來,各有各的乾淨俐落,不相妥協,談起戀愛來,又是各有各的傻樣,卻也各有各的復甦風貌。我了解女生多得多,在我看來,每一個人都是具有絕大能量的個體,而這能量表現在對人生,對社會,對感情的思考,以及我們跌倒時如何悲憤如何心碎,如何扶持另一個同樣命運的姊妹,當然也表現在事過境遷怎麼重新爬起。

不能不提的是一樁神奇的相遇。記得我剛認識費米和小黃一干人等的時候,小黃提起她未來室友的名字,我聽著聽著不知為何覺得好耳熟,但是搜索枯腸,從小學同學一直想到大學同學,怎麼想也想不起來到底在哪裡認識這個人。那種「知道那記憶存在」但是怎樣都翻不到的感覺其實滿嚇人的。後來這位謎樣的室友終於來到眼前,經過她友善的提醒,我終於想起來原來我們的媽媽們是同一所學校的同事,我和她雖然不同屆,但是彼此總有耳聞,也勉強算見過面(雖然其實嚴格說起來,小時候的生活並沒有兜到一起),因此謎底終於解開的時候,我還是驚訝萬分。沒有想到以前不怎麼熟的人,過了二十幾年繞過了半顆地球,竟然會在同一個城市相遇(而且還不是紐約啊舊金山啊這種很多人都會去的城市),怎麼想都覺得實在是太巧了。

雖然相認了,但其實我們的交集很有限。我大部份是和小黃比較熟,因為有玩在一起,幾次大家一起出去玩的場合,這位謎樣室友小姐和我也都剛好的錯開。是一直到兩年後,我離開了 CMU,稍事休息的時候,才和她有機會越聊越多,變得非常熟。那時才發現,之前除了各自都有各自的感情生活要經營之外,原來我們對彼此都有很不切實際的愚蠢恐懼。我很害怕她打扮入時的時髦外表,她則覺得我好像是個很會唸書的聰明女生,都是彼此最害怕的類型。聊了很多家裡的事情和成長過程之後,我發現其實很多認知都源自於自己的不了解,也發現那些認知幾乎是相當可笑,因為許多基本的想法是類似的。人往往不如自己想像的明智,常常會有一些自己也無法相信的偏見,認為早該跳脫那些桎梏了吧,但事實上並沒有。要到真正面對到的時候,才有機會恍然大悟偏見的存在,也才能夠愉快的去解套。

後來我和她變成這幾年來很要好的朋友,在我來紐約之後的失戀療傷期,莫名其妙就出現了配對的渾名草莓和冬瓜。雖然這些很有可能隨時被新的更好玩的名字取代,但是叫起來總是有一種獨特的思古之幽情啊。

除了草莓和小黃以外,和我比較熟的,有一位我叫她大姊的有趣女子。基本上,我覺得她是個幾乎不食人間煙火的文藝女青年,然而同時也具有某方面的剛毅和熱情,是不能亂欺負的。一開始的一兩年,因為覺得她很有想法,所以我心中對她其實有一點距離感,但是後來發現日常生活中她常常也是個好玩甚至令人無奈的傻大姊個性,於是瞬間我就可以和她平起平坐了。後來我們陸陸續續聊了一些感受和想法,慢慢的我又經驗了很多,印象最深刻的是她告訴我「看到美好的人」這眼光的美好之處,以及一些纖細的,容易被擾亂的情緒等等。人果真不可貌相,認識了第一層,還有第二層,認識了第二層,更會發現還有第三層第四層,不可丈量的無底深度。其實,一次一次的認識老朋友的另外風貌,這驚喜是完全不遜於認識新朋友的新鮮刺激的。

在我稍事休息的那半年之中,為了躲避心碎與無力,我曾寄住在小黃和草莓家很長一段時間。後來有一位我們當中的男生的(已分手)女朋友也因為心碎而住了進來。那一陣子,因為我和這位女朋友的關係,空氣中總是瀰漫著頹喪的味道,和如何循環也不厭倦的「男人怎會這樣」的怨歎話題。討論雖然空費唇舌,無法得到什麼有用結論,也無法挽回男人已走遠的心,但卻是療傷的時候,想要走出來的最具體行為之一。就這樣,那間公寓那時暫時被戲稱為「愛情研究院」,想想也是蠻有趣的。

女人之間的友誼仍進行著,就如同男人之間的一樣。其實後來又發生了許多事,人和人之間的關係不再與從前相同,但這也許就是物換星移的必然。很多事情,包括其他人群亦然,我總選擇將它停格,沒有對照,沒有唏噓,過去與現在似無相干,這淡然不僅讓我比較好過,也讓我能夠清爽的挪出空位來,容納新的互動,新的模式,新的情感。

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從小到大,每個年齡層,我所見到的男人友誼都大同小異:較為內斂,沒有絮絮叨叨,相互間的支持好像不是基於事情本身,而是以存在來表現。彼此預留的空間很大,但卻也因為如此,似乎從沒有一些共識,甚至沒有對於共識的討論,大概也不怎麼介意吧。所以男人之間各不相同各行其道卻還能夠有交情的狀況,並不少見。

我不是男人,自然無法取得第一手的觀察和心得,最多也只是從女性角度去看男人之間的互動而已。他們之間始終令我嚮往的一點,是絕少互相干涉,笑鬧貶抑之間卻還有一些基本的尊重。但令我一直不解,也不怎麼認同,甚至有點覺得該改變的,則是過度的壓抑,到最後對自己的感受無以名說,徒留莫名的情緒暗流在心中,不知該怎麼解決時,只好倚賴女性友人的傾聽。由此又延伸出一項可能的危險人際關係。許多災難都是當事人搞不清楚怎麼一回事的時候發生的,芸芸眾生,能夠深刻的看見內心,與認識外界的,實在沒有多少。

我們那一群人當中的男性友情,怕也是差不多的情況吧。事實上,我大部份看見他們的互動,都是喝酒,打電動,或者一起逛網路購物,轉賣東西賺錢,聊當兵的事,或以前唸書的事,很少聽見他們閒磕牙講內心話,有的話也只是淺嚐即止,有問到就好,可能是習慣不太過深入彼此的隱私界線,當然也有可能是不在我們女生的面前彼此吐露心事。

也不是說要徹夜促膝,將所有的心情眼淚都掏出來分享,那樣也是令我害怕的。不著邊際隨意閒聊,自然是有很大的放鬆效果。我只是覺得,什麼樣方式的朋友都不可少。生命當中只有姊妹淘,壓力太大,容易窒息,但只有哥兒們,有時也不免會失去一些細膩吧。

總之,也許是那群男生唸理工的佔大多數的緣故,思考模式大部份都還是非常的男性。這是我後來距離稍微拉遠了一些,看見聽見感情相關或生活相關的運作,才慢慢發現的。這個經驗和我唸大學的經驗不謀而合。從前總是以為時代已經大不同,男性的觀念應該不再像以前那樣了吧?然而和這些男生相處下來,雖然大部份時間是和樂的,但是偶爾總會有些隱隱的不對勁,大至生涯規劃的討論(因此牽涉到男性女性角色的認同),或者男女朋友互相對待的方式討論,小至一兩句話或細微的動作,有時總會感到一種詭異的扦挌,摸不清楚他們的沮喪和失望到底是因為什麼原因。現在想想,其實很簡單,是因為我和他們之間的互動定位不符合他們心裡期望的男女有別而已。我想我不能說他們不對,畢竟這傳統的架構其來有自,也不是完全沒有好意的出發點。但是就我這類極度追求平權與尊嚴的女生而言,這樣的環境毋寧是令我十分的失望的。

但這當中也是有一些比較沒架子,比較中性的男生,有些甚至擁有我們女生也望塵莫及的情緒化和敏感度。像是在光譜上由右至左散落的色點,每個人都各據一個自己的波長,往外與世界相處,或者與同樣由右至左散落的女性們相處,也就出現了很多不同的可能。也因此,很自然的在已經人數不多的群體裡面,他們也自成了一兩個,兩三個彼此比較合得來的小小團體。

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Heroes In My Heart (56)

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弄清π是無理數這件事可能是根本沒有實際用處的

但是如果我們能弄清楚

那麼肯定就不能容忍不去設法把它弄清楚——E.C.Titchmarsh

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昨天提到了2個在監獄裡做出了大手筆的數學家,還有一個和監獄有關的趣事,這個發生在Gottingen,主角是E.Landau,這個人在前面提到了多次,解析數論大家,巨富無比,人高傲自大,也蠻可愛的,除了當初對我們尊敬的Noether姐姐不恭之外。

Landau講過Fourier級數的課,其中會涉及到一個叫做Gibbs現象的東西,當他講到這裡的時候,振振有詞的評論道:“這個現象是Jail的英國數學家Jibbs發現的。”

Landau是典型的德國人,從這句話我們可以看到他的英文水平。因為這個時候,不得不有人跳出來指出他的錯誤:“第一他是個美國數學家;第二他叫Gibbs不是Jibbs;第三,也是最為重要的一點時,他更不在Jail(監獄)裡面,而在Yale大學。”:-))

順便說說這個"Jibbs"碰到的事情,Yale曾經連續7次拒絕曏著名的物理學家Gibbs發薪水,理由是人為他的研究沒有意義。

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Heroes In My Heart (57)

中國有句古話說名師出高徒,說的是你如果和高手一起切磋,整日耳濡目染,會不知不覺學到很多很多東西。大多數數學家的老師都是很牛的數學家的,可能Gauss和Newton這樣的人除外,他們不需要老師的。

有一個故事說有一個人試圖畫出Lefschetz的數學後代家族樹,幾個月後,他就不得不放棄,因為根本找不到一張足夠大的紙,這是一個指數增長的典型例子。越是這種大數學家,他的學生一般來說越多,受到他影響的人也就越多。

再譬如說在Berkeley的一次邏輯學的會議上,Tarski請Sierpinski的學生舉一下手,大部分人都舉了手,然後Tarski請Sierpinski的學生和學生的學生舉手,所有人都舉了手。這兩個人都是波蘭的最最著名的數學家。

最後我列舉一下一些數學家的師承,這個不完全,其實是很不完全,希望大家補充的說:

Dirichlet是Riemann的老師

Wierestrass是Cantor, Killing 和 Frobenius的老師

Noether 是van de Wearden, Alexandroff的老師。

Hardy是Wiener的高等數學的老師,

Hermite是Dini的老師

Hadamard是Frechet的老師

Kronecker是Kummer的老師

Sylow是S.Lie的老師

Hodge是Atiyah的老師

Gauss的小學老師是Lobachevsky的大學老師

Hilbert是無窮多個人的老師

Kummer的妻子是Dirichlet的錶妹。

Laurent Schwartz是Paul Levy的女婿

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Heroes In My Heart (58)

據中國的古話說職業一共有365種,反正是很多了,應該說作為數學家,從收入上來說是相對比較少的,這個相對的意思是從付出的努力到最後真正得到的錢的比值的倒數。

這裡給一個1959–1960年度 Chicago大學 數學系教授的工資情況,這裡的每一個數學家都是大名鼎鼎的:

Stone 20000 $ Albert 16000 $ S.S.Chern 16000 $ Maclane 16000 $

Zygmund 16000 $ Kaplansky 13000 $ P.R.Halmos 13000 $

其實好像也不少了,那個時候是50年代末,有這麼多錢肯定衣食無憂了,這也是為甚麼美國的數學家能夠專心研究吧。

從現在來看,好像學數學收入更少了,很多人出國讀數學沒幾年就轉行了,畢竟計算機經濟之類的專業轉化為生產力的速度更快。

說到了轉行的事情,想到了一個“內部周轉”的事情,Spencer在離開英國去Princeton的時候,Littlewood去火車站送他,叮囑:“不要改行。”於是,Spencer研究了10年的Bieberbach的系數問題,後來終於受不了了,改做復流形,沒有多少功夫就和Kodaira 一起發錶了他們著名的工作。

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Heroes In My Heart (59)

說一說數學家之間的恩怨,由於門派喜好乃至政治上的分別,他們之間也往往有些小小的過節。

法國曾經有一個很著名的Dreyfus事件,這是對法國的政局甚至日常生活影響很深的一個政治的風波(至於具體是甚麼,我也不知道,不過上面的信息對理解後面數學家們的行為已經足夠了)。

Hadamard 個人算是一個Dreyfus派的人,不過他個人當然是對政治事件很淡的那種人了。適值那年的元旦,按照巴黎高等師範學校的傳統,年輕的老師要給年長的老師拜年。Hadamard於是跑到Hermite那裡去拜謁一下子,Hermite本身是個反Dreyfus的人,看到Hadamard來拜年,第一句話就說:“你是個叛徒!”Hadamard很難理解這句話:“為甚麼?”Hermite本身做分析,而且個人固執的看不起幾何等分支,那時候Hadamard 有一項關於 曲率曲面的文章很是著名,Hermite就對Hadamard說:“你為幾何而背叛了分析。”

Picard也曾為了這個政治的原因對Hadamard說:“由於你是數學家,我很尊重你。”言下之意,已經很明顯了。不過Picard這個人一曏目中無人,無論對誰都是貶多褒少,一個有意思的事情說,Picard在法國科學院收到了一份Bourbaki的報告,看到了Nicolas Bourbaki的名字,說:“呃,這些外國人。”

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Heroes In My Heart (60)

繼續說數學家們之間的過節。整體而言,做學問的人總是讓人尊敬,很少有令人討厭的。要說幾個人,他們的學問的確是一流的,但是在同行裡的口碑卻不是很好。

第一個要說的人是Koebe, 此人作為數學家還是很出色的。但是從做人的方面來說,極為自負(其實對於數學家而言,這一點很可愛)而令人討厭,偶爾剽竊年輕人的法。

Courant (柯朗)當初就很受他的排擠。一次在Gottingen, Courant要報告一個題目,當時Koebe恰好也要報告,但是,Courant是年輕人,按照不成文的規矩,他是初學者,而且剛剛完成了博士論文,有特權先報告。當Klein問大家誰先報告的時候,Koebe迫不及待的說:“我先講。”

後來Courant的朋友很憤怒,在Koebe的課上,把一個藏有警報器的便壺藏在講台下面,Koebe最終找出了這個發聲的東西,引起哄堂大笑。不久,他的朋友在當地的報紙上公開了這個惡作劇。

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(61)

數學史上還有兩個大師級的人物,同樣的是學術很好,但是名聲不濟,和很多人有這樣那樣的誤會和矛盾。

第一個是Kronceker,大家用的很多的Kronecker符號就是用他的名字。此人身體瘦小無比只有5尺高,當初經商和務農很牛,賺了一大筆錢,30 歲之後致力於數學。他在德國算是很權威的人,但是特別煩的是,很專斷,根本不相信無理數的存在。當初Linderman和他討論π的問題的時候,他竟然說這個東西根本不存在; Cantor後來瘋了,很大程度上是因為Kronecker的廢話太多;據說Weiestrass都差點被他弄哭了,就是因為他對無理數抱有一種病態的看法。

第二個人就是Brouwer,直覺學派的領頭人,感覺上特別象當年的Kronecker,對於和自己不同的意見不能容忍。他稱 Hilbert等人為敵人,認為無窮這個東西是不存在的,不僅如此,凡是有人不同意的話,他總是想方設法刁難。他原來是某一著名雜誌的主編,別人寄來的文章通常都是高置於案頭,沒有一年半年他決不會給人家發錶。一次,他和van de Wearden一起在朋友家裡做客,後者講到了Hilbert和Courant,並且以朋友相稱。這時候,Brouwer竟然一怒之下,拂袖而去。

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(62)

三個做作業的故事,他們的作業很難的說

第一個是被大家稱為線性規划之父的Dantzig (丹齊克),據說,一次上課,Dantzig遲到了,仰頭看去,黑板上留了幾個題目,他就抄了一下,回家後埋頭苦做。幾個星期之後,疲憊的去找老師說,這件事情真的對不起,作業好像太難了,我所以現在才交,言下很是慚愧。幾天之後,他的老師就把他召了過去,興奮的告訴他說他太興奮了。Dantzig很 ft, 後來才知道原來黑板上的題目根本就不是甚麼家庭作業,而是老師說的本領域的未解決的問題,他給出的那個解法也就是單純形法。據說,這個方法是上個世紀前十位的算法。

第二個和上面的類似,Milnor(米爾諾,得過Feilds奬和Wolf奬,特別有影響的一個數學家,現在還健在,但是聽說因為年紀大了,沒有人給他研究基金,讓這個老人很痛苦)在Princeton大一的時候,上課得知Borsuk的一個和全曲率有關的東西,誤以為是家庭作業,幾天之後搞定了,後來就發錶在年鑒上面。第三個講的是Arnold, 先說一下背景,有一個很著名的問題叫做“三體問題”,粗略的說就是研究一下像太陽月亮地球這樣的三個行星在萬有引力的作用下,最終會不會相撞。偉大如 Poincare之類的人,都只是部分解決了這個問題。

再介紹一下Arnold的老師Kolmogorov, 一個蘇聯的大師,可以說是活在20世紀的前三位的數學家(如果可以排名的話),過幾次說說他的故事。

Kolmogorov 對這個問題有了興趣之後,著實花了些功夫,後來他覺得離著解決差不多的時候,乾脆就把這個問題留成了一道課外作業,Arnold他們就奉命去寫作業,若干時日之後,終於成功的解答了這個東西,當然他的貢獻是特別大的,很多關鍵的想法都是自己創的,所以最後這個問題的解答所形成的定理叫做”KAM”,KA就是他們師徒倆人,M則是一個美國數學家Moser,也曾對這個問題做了很多的工作。

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(63)

提一個匈牙利的數學家,學過Fourier分析的人應該對他很熟悉,他就是Fejer。關於他的數學水平可以用Poincare的評論來證實, Fejer關於Fourier級數的Cesaro和的工作是大四做的,1905年的時候,H.Poincare到匈牙利去領取Bolyai奬,很多政界的人都去接見, Poincare見面就問:“Fejer在哪裡?”眾人面面相覷:“Fejer是誰?”Poincare說:“Fejer是匈牙利最偉大的數學家,也是世界上最偉大的數學家之一。”

其實政界的人去接見Poincare並不是因為他是那種最最偉大的數學家,而是因為Poincare的哥哥原來是法國的總理甚麼的,一般來說,政界的人對於誰是數學家並不關心,要不也就不至於不知道Fejer了。

據說,Fejer比較喜歡到處亂說話,有兩件事情來證明。Fejer和Riesz的關係很好,但是他比Riesz晚生了兩個星期,於是,就到處聲稱他其實比 Riesz要大,因為Riesz早產了;Fejer和Kerekjarto不和,後者是一個拓撲學家,Fejer說Kerekjarto說的話和真理只不過是拓撲等價。

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(64)

Kolmogorov (1)

這是蘇聯最偉大的數學家之一,也是20世紀最偉大的數學家之一,在實分析,泛函分析,概率論,動力系統等很多領域都有著開創性的貢獻,而且培養出了一大批優秀的數學家。特別的用兩次的時間來介紹他,因為Kolmogorov不僅作為數學家很傳奇,更是有著豐富多彩經歷。

Kolmogorov 一開始並不是數學系的,據說他17歲左右的時候寫了一篇和牛頓力學有關的文章,於是到了Moscow State University去讀書。入學的時候,Kolmogorov對歷史頗為傾心,一次,他寫了一篇很出色的歷史學的文章,他的老師看罷,告訴他說在歷史學裡,要想證實自己的觀點需要幾個甚至幾十個正確證明才行,Kolmogorov就問甚麼地方需要一個證明就行了,他的老師說是數學,於是 Kolmogorov開始了他數學的一生。

二十年代的莫斯科大學,一個學生被要求在十四個不同的數學分支參加十四門考試;但是考試可以用相應領域的一項獨立研究代替。所以, Kolmogorov從來沒有參加一門考試,他寫了十四個不同方曏的有新意的文章。Kolmogorov後來說,竟然有一篇文章是錯的,不過那時考試已經通過了。

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(65)

Kolmogorov (2)

不說他老人家在數學上的成就了,因為實在太多,譬如說上同調環這個東西他也是獨立發現的。專心的說一下他的軼事。

Kolmogorov 總是以感激的口氣提到斯大林:“首先,他在戰爭年代為每一位院士提供了一床毛毯;第二,原諒了我在科學院的那次打架。”Kolmogorov一次在選舉會上打了Luzin一個耳光,他說:“(打架)那是我們常用的方式。”Luzin在實變函數方面有著很重要的貢獻,但是以打架而論,遠非 Kolmogorov的對手,因為Kolmogorov經常自豪的回憶他在Yaroslovl車站和民兵打架的經歷。

一個人如果打架很牛的話,經驗告訴我們他必然身體強壯,而Kolmogorov的確很擅長運動,並經常以此自詡。譬如說,他經常提到一件事情,並且深以為憾,三十年代的一個冬天,Kolmogorov身穿游泳褲雪橇,在得意的飛速下滑,碰到兩個戴相機的年輕人請他停下來,他原以為他們仰慕他的滑雪技術會為他拍照,結果他們請他為他們拍照。再譬如說,39年的時候,他突然決定在冰水中游泳以錶達對自己健康體魄的高度信任,結果以住院告終,醫生一致認為他差點死掉;但是,70歲的時候,突然決定到莫斯科河裡游泳,仍然是冰水,這一次卻沒有事情。

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(66)

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有一條小路,穿過田野,通曏新南蓋特,我經常獨自一人到那裡去看落日,並想到自殺。

然而,我終於不曾自殺,因為我想更多的瞭解數學。——B.Russell

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就用下面的一篇作為這個系列的結束吧,R.Thom是法國人,35歲得的Fields奬。在一次採訪當中,作為數學家的Thom同兩位古人類學家討論問題。談到遠古的人們為甚麼要保存火種時,一個人類學家說,因為保存火種可以取暖禦寒;另外一個人類學家說,因為保存火種可以燒出鮮美的肉食。而 Thom說,因為夜幕來臨之際,火光搖曳嫵媚,燦爛多姿,是最美最美的。

美麗是我們得數學家英雄們永恆的追求。

(全文終)

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後記

感謝那些每天來看我連載的人,感謝每一個喜歡這些故事的人。我根本沒有想到會有這麼多人喜歡,尤其是我如此拙劣的文筆,謝謝大家。最初選Hero作為題目,是因為那時候想起了Mariah Carey的一首歌,叫做Hero。我不知道這六十多篇文字,是否真的勾勒出這些英雄們的桀驁不馴嬌憨可愛,是否真的描繪出這些英雄們在追尋美追尋永恆的歷程中,滿心的痴狂驚人的努力。

說正事,這個後記基本上來說說文獻,就是這些東西的出處。

第一本叫做 天才引導的歷程, 作者是威廉·鄧納姆,一個美國人。這本書是我高中讀過的,其中有若干經典的證明譬如Euler的求自然數平方倒數和的那個偉大的類比(儘管不嚴格),更好的一點是,書中有若干有意思的小故事,即使不喜歡讀證明,依然是很有趣味。

第二本或者說第二和第三本是Constence Reid為Hilbert和Courant寫的傳記,寫書的女士不是數學家,所以行文更流暢故事更多。第一次知道這本書是個巧合,大概是二年級的時候,我去圖書館的電腦上隨便檢索,發現在Weyl的詞條下,有一個說是Hilbert的文集有Weyl作的註釋,這種經典自然要去翻翻,但是按索書號卻是 Reid的書,英文版的。今年,中文版的書也出了,我用的很多的話都是中文版的書中的。

第三本是Ulam(烏拉姆)的自傳,叫做 一個數學家的經歷,是一本上海科技出的紅色的小冊子,本人兩年前在國林風賣舊書的地方以2元的價錢購得,書中講了他不是太傳奇的一生,用了很多筆墨去寫von Neumann。

第四本是 P.Halmos的自傳,叫做 我要做數學家,有20幾塊錢,好貴,我從alpha那裡借來看過,不是太有趣味,因為行文過於冗長,但是長的一個好處是故事多,而且Halmos這個人就是喜好吹牛。

第五本是 Nash的傳記,名字是 普林斯頓的幽靈, 講述Nash的故事,我這裡不知道貼了多少,最近由於A Beatiful Mind這部片子的緣故,Nash變得特別的出名,大家不妨去看看這本書,還是很有趣的。

其他的書引用的不多,這裡列一下,有一本書叫做一個數學家的辯白,作者是Hardy(哈代),此書還附有Weiner(維納)的自傳;一本是Newton(牛頓)的傳記,名字大概就是牛頓傳吧,記得序言的第一句話是說歷史上為某人立傳而不需要理由的牛頓當之無愧的算第一個;還有一本是A.Einstein(愛因斯坦)的傳記,具體哪一本忘了,估計都差不多。至於其他其他的書譬如講Erdos的數字情種 和另外一本比較著名的 數學精英,歐倒是沒有讀過,據說都是很好的傳記性質的書。

還要提一下一本雜誌,中科院出的,叫做 數學譯林, 在北大圖書館的四樓就能找到, 每次在圖書館裡無聊的時候,我就去翻看上面的故事,這個雜誌堪稱為給數學系學生看的最好的雜誌了。其中不但有很多傳記和歷史,還有前沿的數學工作的介紹,經典的東西的回顧。

以上這些書的並集,也許不能完全的包含這幾十篇東西,那麼其差集就是平時老師同學講的故事和某些專業書裡作者隨手插的花絮。

到這裡就真的結束了吧,要畢業了。又想到了一個小故事是Halmos的,他寫了一本著名的書叫做Measure Theory,當他完成此書的時候,心中喜悅難以抑制,曏眾人宣佈:“我剛寫完了Measure Theory的最後一個字!!”有人問:“最後一個字是甚麼?”Halmos當時愣住了,連忙趕回辦公室,再跑回來,告訴他們說是甚麼甚麼。我也寫完了,最後一段話和本文無關,寫給遠在千里之外的一個女孩,每一天到bbs上的時候,我總是假設你也上bbs,你也來看我的連載,希望你能喜歡這些故事哪怕只有一個,儘管你不喜歡數學也不喜歡我。

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Heroes In My Heart (45)

今天再講一個王老師的故事,也是他上課時候隨口說的。他說的主持討論班這個人就是那種工作特別刻苦,又有不錯的機遇,最後做出了很大的成就。好像是Freedman吧,記不得了。

先說一個歷史上很類似的故事。

Mandelbrojt 一次在Levi-Civita家裡做客,恰好E.Landau去玩。Landau在當時也算是成了名的前輩,於是Levi-Civita舉行了一個小小的聚會。其間,一個老先生對Levi-Civita講,最近有一個荷蘭的年輕人Mondebroht做的工作很出色,Landau問到那是誰呀? Mandelbrojt不得不跳出來解釋說,那個人不是荷蘭人,是波蘭人;那個人也不叫Mondebroht,叫Mandelbrojt;那個人其實就是我……

做一個註釋,上次有人說Mandelbrojt的拼寫有錯誤,這歐又去覈實了一下,至少這個拼寫的存在性是可以肯定的,可能並不唯一。反正他是現在那個最出名的做出了美麗的分形圖片的Mondelbrolt的叔叔。

王老師也有類似的經歷。當年在Berkeley的一個討論班上,一個牛人主持,講解一篇論文,王老師在期間提了一些很不錯的想法。

課下,那個牛人問閣下貴姓?

“姓王。”

牛人說,太巧了,我們今天講的論文也是一個姓王的中國人寫的。

“那就是我……”

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Heroes In My Heart (46)

開始說一下mm數學家 …… :-))

打算post3篇

她們做出的成就的的確確比不上男數學家的成就,但是我們依然能夠發現她們的事跡中有很多的偉大,很多的美麗。

從古希臘說起吧。那個時候,的確是一個很民主的時代,對於女性的歧視要遠好於後來,譬如說很多偉大的數學家哲學家對女性參與數學的態度還是很好的,譬如說 Pythagrass(畢達哥拉斯)學派當中就有女的信徒。Pythagoras本人就很鼓勵女性學者,當年有個兄弟會之類的東西,裡面就有28個女孩, 其中有一個叫做西諾的,後來就被Pythagrass騙去做老婆了。這個女孩在當時是個比較有影響的數學家。Socrates(蘇格拉底)和 Plato(柏拉圖)也曾經邀請過女性去他們的學院講學。

從他們往後,女性在很多的行業中受到了歧視,在哲學數學自然科學這些領域更是如此了。

有一個令人心痛的故事,講的是Hypatia (西帕蒂婭),她處的時代就是Plato他們往後那麼一點的時候。Hypatia本身是個很優秀的數學家了(在那個時代),她的演講很出名,而且解題也是高手,其父親是亞歷山大的一位數學教授。經常有一些數學家找他詢問一些題目的做法,她也很少讓大家失望。一個小故事說有人問她為甚麼不結婚,她回答說她已經和真理定了婚。不過Hypatia後來極為悲慘,有個叫做Cyril的甚麼教長之類的人,聲稱數學家哲學家這幫人為異端,對他們大加殘害,手段令人發指。在一個封齋的日子裡,Hypatia被從馬車上拖到教堂,剝光衣服,身上的肉被一群狂暴的人用牡蠣的殻颳了下來。

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Heroes In My Heart (47)

mm數學家之二

話說時光飛逝,轉眼間從古希臘來到了18世紀的意大利。儘管從物質生活到文化的各個方面,比起希臘,已經大大的發展了,但是女性的地位相對來說還是一如既往的得不到重視。

有一位被認為是當時歐洲最出色的數學家的女數學家,叫做Maria Agnesi(瑪麗亞.阿涅西) 像她這樣出色數學家,在歐洲還是沒有研究機構願意提供給她職位,尤其是法國這樣的國家,更是對她不屑一顧。

她有一篇關於曲線的切線的文章尤為出名。但是意大利語中曲線一詞叫做versiera,好像在拉丁文還是甚麼文字當中是avversiera的縮寫,後面這個詞意思是 魔王的妻子。於是Agnesi研究過的一段曲線(versiera Agnesi)翻譯成英文的時候,就被叫做Agnesi的女巫,後來,有一段時間,大家都這麼稱呼女數學家。

在關於女數學家的記載當中,很少有關於她們容貌的描述的,不過要說的是還是有ppmm做了數學家,上個世紀在偏微分方程方面,Sonja Kowalewski(柯瓦列夫斯卡婭. 鞣奇?)無疑是最優秀的數學家之一。她本人絕對是個一流的美女,據說當初Weiestrass也被她的美貌深深的吸引。

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Heroes In My Heart (48)

mm數學家之三

每每讀到她為甚麼選擇了數學,總讓我心馳蕩漾……..

在所有的歐洲國家中,法國對女性的歧視(學術上的)尤為嚴重。Sophie Germain(索菲.熱爾曼)就出生在這個國家。Germain當初讀過一本講Archimedes的書,說當初他老人家專心的研究一堆沙子組成的幾何圖形,以至於一個羅馬士兵問他話他充耳不聞。那個士兵一怒之下把Archimedes殺死了。Germain認為,一個人可以如此的痴迷於一個東西以至於置生死於不顧,那麼這個東西一定時是世界上最美的最迷人的。於是她選擇了數學。

開始Germain的父母強烈反對,沒收了她的墨水蜡燭之類的東西,然而,Germain痴心不改,終於感動了父母,一生父親都支持她的數學工作。 1794年,Polytechnique在巴黎建校,儘管這裡盛產數學家,但是卻只接受男性,於是Germain化名為Le Blanc偷偷的混進去旁聽,當然,當時確實有一個人叫做Le Blanc,估計這個人比較喜歡曠課,反正他一直不到,Germain得以在那裡好好的讀書,幾個月之後,她的任課老師Lagrange發現了一個很牛的學生,Germain不得不說她其實是女兒身。Lagrange畢竟不同於一般的人,他很高興有這樣的一位朋友,並樂於做Germain的導師。

Germain 不久對數論尤為傾心,可能受Lagrange的影響吧,他年輕的時候靠變分法出名,年長之後在數論方面貢獻卓越。Germain選擇的題目是Fermat 大定理,她把自己的結果寄給Gauss,令Gauss特別的欣賞,她當年才剛剛20歲,而她做出的成果是當時最好的。當然,她還是怕Gauss對女性有偏見,於是仍然選擇了Le Blanc這個名字。後來,Napolean的軍隊攻入德國,Germain怕Gauss重蹈Archimedes之覆轍,於是給自己的朋友,也就是當時通領三軍的一位將軍寫信,這位將軍果然對Gauss很為關照。

Germain後來又在物理上面做了很多東西,尤其是在彈性理論上面。由於她在數學物理上的突出貢獻,她最終榮獲了法國科學院的金質奬章,並成為第一位不是一某位成員的夫人出席科學院講座的女性。在生命的最後幾年,Gauss 說服了Gottingen大學,授予Germain名譽博士學位。在那個時代,這是極大的榮譽。可惜在她的有生之年,未能親自帶上那令人驕傲的帽子。

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Heroes In My Heart (49)

mm數學家之四

這是歐說的最後一位mm數學家,也是最最偉大的一位,Emmy Noether(埃米.諾特).

她對20世紀的數學的影響無以倫比,提到抽象代數就不得不提一下Noether.最最著名的一本抽象代數的書van de Wearden的就是採取的Noether的講義。E.Artin,van de Wearden等人都是她的學生。

儘管這樣子,Noether在Gottingen的同事Edmund Landau還是就決給她講師的職位,並說“…當我們的士兵發現他們在一個女人腳下學習的時候,他們會怎麼想?”不得不說Landau令人不招人喜歡。最讓人不能容忍的是有人問她Noethor是否是一個偉大的女數學家的時候,他說:“我可以作證她是一個偉大的數學家,但是對她是一個女人這點,我不能發誓."

不過,偉大如Einstein和Hilbert的這樣的人都對Noether推崇備至。Einstein曾經說 Noether是“自婦女開始受到高等教育以來最傑出的最富有創造性的數學天菜”,Hilbert則支持Noether去爭取一個講師的職位,並反駁 Landau說:“我不認為候選人的性別是反對她成為講師的理由,評議會畢竟不是澡堂。”看來Hilbert當時有點怒了。

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Heroes In My Heart (50)

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四年終究有些遺憾.—– mashimaro

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這是偶的室友的一個簽名檔,比“遺憾總是難免的”的說起來好聽,但是是等價的。很多數學家於垂暮之年回首往事,也總是發出這樣那樣的感慨,與常人無異。

從Hadamard說起,原來講過他是個和藹的老頭,數學好的不得了,人也是這個樣子,上個世紀初還來過清華講過課。

每每談及往事,Hadamard總是很惋惜的說道一輩子有兩件事情特別的後悔。

第一個在數學方面,他很早就找到了Jensen公式,由於沒有發現很精辟的應用,一直就沒有發錶,結果Jensen搶先了一步。

第二個是物理方面,關於狹義相對論,他也是很早就有了這樣的想法,只不過沒有時間深入下去,後來Einstein就發錶了。

其實Hadamard最不能忘懷的事情,決不是上面兩件,而是關於自己當初考試的。以至於年紀大的時候,仍然耿耿於懷,甚至到俄國和 Kolmogorov都提這件事。就是Hadamard做學生的時候,參加數學的會考(相當於數學競賽吧),得了第二名,第一名後來也是一個數學家, Hadamard對 Kolmogorov說:“事實證明後來他做得沒有我好,其實他一直沒有我好。”

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Heroes In My Heart (51)

當初Fermat證明不了東西時候,就寫下了這句話

Cuius rei demonstrationem mirabilem sabe

detex marginis exiguitas non caparet.

翻譯成中文就是

我有一個對這個命題的十分美妙的證明,這裡的空白太小,寫不下。

後來,Hilbert也會了類似的技巧,

有人問Hilbert為甚麼不去證明Fermat大定理,他說為甚麼要殺死一隻下金蛋的母鵝,因為這樣的一個對整個數學發展有著如此深遠推動的問題太少了。不過個人認為他沒有能力殺死這只鵝。

還有另外一個和金蛋有關的事情,不過和數學家沒有關係。當初歐洲的反法聯軍快攻到巴黎的時候,Ecole Polytechnique的學生要求上戰場,保衛國家,拿破侖說:“這怎麼可能呢,我不能為了打贏一場戰爭,殺死一隻會下金蛋的母雞吧。”

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Heroes In My Heart (52)

熬夜寫東西,無聊之際,過來說一個不學數學的人一般不知道的人吧

剛剛看到了和他有關係的一個定理的說

:-))

H.Whitney 是很著名的美國數學家,做了很多很重要的工作,譬如說曏量叢的Stiefel-Whitney類是用他的名字命名的,還有一個著名的定理,說每一個n維的流形都浸入一個2n-1維的歐氏空間嵌入一個2n維的歐氏空間,也是他的結果。歐們的圖書館裡還有他的論文集的。

很難想象,他本人一開始竟然不是學理科的.

Whitney的本科時候讀的卻不是數學,話說他學業完成,到歐洲大陸去玩,大概是到了Gottingen還是甚麼地方了,反正是個很有名的地方,當時有一個很牛的物理學家(不是海森堡就是薛定諤)正在做一個關於量子力學的講座.

等得講座結束之後,Whitney什也麼沒聽懂,感覺及其不爽,於是找到了那個主講的人,說,先生,我覺得你做的講座很不成功.

主講的教授很納悶,就問他說為甚麼.

Whitney回答說,我可是Yale大學的優等的畢業生,你講的東西我竟然聽不懂,這難道不是你講的有問題麼。

那個教授繼續問,你是讀甚麼專業的。

Whitney回答說,我是讀小提琴的…..

教授大大的分特了,說這個我也沒有辦法,你要想懂的這些東西的話你應該學一點基礎的課,於是告訴他這個世界上還有數學分析和線性代數等等…

Whitney回美國之後就開始發奮學習數學,據說半年之後就可以參加很高級的討論班了.

當然他是非常刻苦的, 數學的歷史上還是有很多這種大器晚成的例子的.

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Heroes In My Heart (53)

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上帝之所以存在

是因為數學是相容的

而魔鬼之所以存在

是因為我們不能證明數學是相容的。——Andre Weil

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一個很有意思的事情,很多很多的數學家和物理學家都特別的喜歡音樂,一個很出名的例子就是愛因斯坦。數學家當中也是這個樣子,大家在做完了數學之後,也會醉心於此。譬如說E.Artin,一個上個世紀影響最大的帶數學家之一,據說鋼琴的彈奏水平極高,尤其是特別的嚴格,好像他做的代數一樣;譬如 Courant,和Artin比起來路子要野蠻一些,水平也要低些,不過熱情毫不遜色,還經常邀請Artin到家裡演奏一番;再譬如說J.Nash,這個人大家比較熟悉,剛剛演的A Beautiful Mind說得就是他,他原來就喜歡繞著Princeton的Fine Hall游蕩,並且嘴裡吹著口哨,後來一個得了Feilds奬也得了Wolf講的人數學家J.Milnor還說,他第一次聽巴赫的音樂就是通過當時 Nash的口哨聲。

更有甚者,譬如Dieudonne,這個法國Bourbaki的人,不但喜歡彈琴,更是能記住很多很多的樂譜,據說上千頁的樂譜他也能背誦。曾經一次,Dieudonne和P.Cartier去音樂會,他指著手裡的節目單說:“樂隊的演奏漏了一個字符.……”

再譬如說,Fox,一個美國的拓撲學家,在60年代的時候,提到這個名字,就相當於提到了低維拓撲這個方曏,他本人的小提琴的演奏水平也相當專業。這個人比較喜歡故弄玄虛,據說,在一次音樂會上,Kodaira和他一起,不料這次的演奏時不時的停頓,而且有聲音的時間要少於沒有聲音的。 Kodaira感到特別不好聽,Fox嘆息道:“這是受了禪影響之後的音樂,我正在試圖從無聲之中聽出有聲。”

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Heroes In My Heart (54)

上一次說到了很多數學家都喜歡音樂。不過我的看法是似乎比較“古老”一點數學家的業餘愛好要少一些,當然有可能是關於他們的記載要少一些,不過我覺得他們更能夠集中精力,全身心的投入。從阿基米德,牛頓到高斯,黎曼,似乎出了研究之外。很少關心別的事情。

譬如說Gauss(高斯)。聽說過一件極其變態的事情,但是從另一個側面我們也可以知道他不僅僅是天分出眾,更重要的是努力。Gauss中年的時候妻子就死去了,那個時候,Gauss就很有名望,家裡有保姆。妻子病的一塌糊塗,不過他還是專心自己的研究。這個當然不是一個值得稱道的品質。就是妻子的彌留之際,他還是沒有去她的身旁,保姆實在看不下去,就去Gauss做研究的地方去找他說讓他趕快過去,Gauss隨口答應了,但是依然做自己的東西。保姆又來了一次,痛斥了他一番,豈知Gauss告訴她說:“我馬上就過去,你讓她再等一會……”

在譬如說J.Nash, 大家只是知道他的天才,卻很少提到他的努力。鐘開萊(Kai Lai Chung)在Princeton的時候,遇到了這麼一件事情。說一下,這個姓鐘的人是一個很重要的華人數學家,在概率方面很有作為。他去一個很有名的休息廳,適時恰是秋季的清晨,休息廳裡空空蕩蕩,寂靜異常,就像教堂的感覺一樣。大廳中間的巨大的桌子上面,亂七八糟,全都是草稿紙,一個人躺在上面,正愣愣的思考。這正是Nash,很顯然這又是一個不眠之夜,他一直在考慮數學.

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Heroes In My Heart (55)

說幾個和監獄有關係的事情,做數學這個東西的確不同於很多學科,只要有一個場所可以供以靜坐,有紙筆可以演算,這個世界的一切都無所謂。

最最著名的故事就是關於Leray的事情,他是法國Bourbaki學派的創始人之一。最初的時候,他做的是分析,在流體力學和力學方面卓有貢獻。後來二戰爆發,Leray作為法國的軍官參戰,40年的時候,被德國人抓到了集中營裡。德國人在戰爭方面對於科技的重視使得他們對每一個數學家和物理學家都是很關註的,而Leray做的是分析,很有可能被德國人關起來去做各種各樣的用來殺人的彈。為了避免這件事情的發生,他就以代數學家自居,在獄中的時候依然努力的做研究,出獄的時候,發錶他的那套對後世影響至深的層論(Sheaf Theory)。

還有一個關於S.Lie的傳說,這個人就是李群的那個Lie. S.Lie當年普法戰爭的時候呆在法國,由於普魯士口音太重,被法國當局投入監獄,後來法國戰敗,大概惱羞成怒,准備殺掉這幫人,幸虧Darboux想方設法把Lie從那裡救了出來。一個傳說時,Darboux到達牢房的時候,發現他這位朋友竟然靜靜的坐著研究數學,而他在研究的東西正是著名Lie群。

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Heroes In My Heart (34)

數學家猶如法國人:

無論你對他們說甚麼,他們把他翻譯成自己的語言,於是就成了全

然不同的東西。

 ?歌德

法國的數學家就可想而知了。:-))

從最天才的人談起

Galois 一共參加了2次Polytechnique的考試,第一次,由於口試的時候不願意做解釋,並且顯得無理,結果被據了。他當時大概十七八歲,年輕氣盛,大部分東西的論證都是馬馬虎虎,一般懶的寫清楚,並且拒絕採取考官給的建議。第二次參加Polytechnique的考試,他口試的時候,邏輯上的跳躍使考官 Dinet感到睏惑,後來Galois感覺很不好,一怒之下,把黑宀林老駾inet,並且直接命中。Galios的天才是不可否認的,不過 personality是少一點了,後者在Polytechnique考試中很重要。最後和Galois決鬥的那個人,是當時法國最好的槍手, Galois的勇氣令人欽佩。兩個人決鬥的時候,相距25步,Galois被擊中了腹部。

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Heroes In My Heart (35)

數學家猶如法國人:

無論你對他們說甚麼,他們把他翻譯成自己的語言,於是就成了全然不同的東西。

 ?歌德

1856 年的時候,Hermite患了嚴重的天花,並好之後,經過Cauchy大力慫恿,竟然皈依了羅馬的天主教。就在這個期間,他和德國的Fuchs一直通信聯繫,於是,Klein說Hermite“在氣質上不是一個領袖人物”。當然,Klein如此的評論有些個人恩怨的成分,可以參見這個系列文章的(9).

在一次國王接見Cauchy的時候,他有五次回答國王的問題是都這樣說:“我預料陛下將問我這個問題,所以我准備好了答案。”然後,他從口袋裡拿出筆記本,昭本宣讀。

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Heroes In My Heart (36)

法語是一種恐怖的語言,Birkhoff是上個世界初美國最著名的數學家之一,一個西方人學習法語,按照常理說應當有一定的優勢,不過當他老人家去了法國的時候,還是遇到了麻煩。

Hadamard曾在法國主持討論班,有很多人慕名而來,Birkhoff就這樣子來到了法國,不過他的法語實在太差。那幾天,巴黎一直下雨,一天Birkhoff見到了Mandelbrojt問:“一周……幾次?”大概中間的詞他不會發音。

Mandelbrojt說:“兩次。”

“甚麼,兩次?”

“是呀,禮拜二和禮拜五。”

“怎麼可能呢?”

“下午三點半開始,五點之前就結束了。”

“這個絕對不肯能!!!”這個時候Birkhoff已經快瘋了。

後來Mandelbrojt才知道原來Birkhoff問的不是討論班的時間,而是甚麼時候下雨。

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Heroes In My Heart (37)

所有的數學家生活在兩個不同的世界裡。一個是由完美的理想形式構成的晶瑩剔透的世界,一座冰宮。但他們還生活在普通世界裡,事物因其發展或轉瞬即逝,或模糊不清。數學家們穿梭於這兩個世界,在透明的世界裡,他們是成人,在現實的世界裡,他們則成了嬰兒。——S.Cappel

說3個可愛的法國學家爺爺當年的事情,一個是Hadamard,最出色的法國數學家之一,無論在幾何,分析那個方面,都是經常那種用名字來修飾“定理”這個詞的人;一個是Lebesgue,實變函數論的創始之人,其對數學的貢獻不言而明;還有一個叫做Montel,相對於前兩個人不是那麼出名,不過在復分析當中有一個極其重要的概念,叫做Montel正規族,就是用他的名字命名的。

這三個人都是巴黎高等師範學校畢業的(不好意思,要麼Hadamard 就是從Ecloe Poly-technique畢業的),Hadamard是他們那一屆的第二名,一生都對那個第一名不忿,儘管那個人作為數學家來說和他嚴格不是一個檔次;Lebesgue和Montel是同一級的學生,分別是當年的第三和第二名,兩個人一生都是很好的朋友,據說那個他們同一屆的第一名仍然在數學方面和他們不能相提並論。

先說Hadamard的詭異嗜好。

他老人家是一個狂熱的蕨類植物收集者,一次他帶領自己的小妹妹到阿爾卑斯山去採集這些東西,把妹妹放在一個冰河旁邊,採玩了之後就自己興衝衝的回家了;他這種馬虎一直改不掉,到了40年的時候,他成功的在忘了帶護照的情況下,從法國動身去了美國;當然,蕨類植物也是他一生的最愛,老年的時候,他去莫斯科訪問,Kolmogorov和Aleksandrov陪同他坐船, Hadamard忽然很興奮得讓他們靠岸,自己激動得站在船頭,最後終於掉到了水裡,原來他發現岸上有一種罕見的蕨類植物。

再說Lebegue和Montel,他們後來工作也是在一起廝混,所以下面的事情經常發生。

一次,Lebesgue打電話(那個時候有電話,大概很富有了)給Montel討論一個事情,兩個人各持己見,吵了一個小時(那個時候的電話怎麼收費?)也沒有結果;第二天早上,Lebesgue有給Montel打了一個電話,說我開始同意你的說法了,然而Montel說我也同意你的了,於是又開始爭吵。

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Heroes In My Heart (38)

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穿過Plato學院的拱形門樓,首先映入眼簾的是 :

“不懂幾何者請勿入內。”

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昨天未明Science版聚,講到了一個和倍立方有關的小故事,也就是如何用直尺圓規做一個正方體它的體積是給定的正方體的2倍。當然這個問題用一點域擴張的知識,就可以證明是做不到的,和三等份已知角一樣的。最初,在雅典流行瘟疫,人們很恐慌,就去求助於神,神諭說要使得瘟疫消失的充要條件是把一個立方形神壇重新建為一個體積是原來2倍的。按照古希臘的規矩,就是要用尺軌作圖。於是大家去問Plato,Plato說這是神的旨意,用來警告大家要對幾何學有著足夠的敬意。

回過頭來說法國。

法國的數學家大都對抽象的東西情有獨鐘。Lagrange寫出了他著名的分析力學的書的時候,就驕傲的宣稱書中“沒有一個圖”;A.Weil在教師資格考試時,理論力學交了白卷,他認為那根本不算數學。A.Weil就這樣子,曾經 Pierre Carier問他Gottingen的事情,提到量子力學的時候,Weil根本不知所雲,儘管當時Hilbert,Bohn,Heisenberg都在做量子論。後來,Chxxxxly和Weil在悼念Weyl的時候,根本不提Weyl的物理學的成就,然而大家公認Weyl最有名的兩本書一本關於相對論,一本關於量子力學。

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Heroes In My Heart (39)

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11歲的時候,我開始學習Euclid的書,並請我的哥哥當我的老師。

這是我生活中的一件大事,猶如初戀般的迷人。——B.Russell

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第39篇,寫偉大的卻不到40歲的Riemann。在100多年後的今天,他的思想還是能夠讓人們感到最強烈的震撼。在此錶示深深的敬意。

Riemann 的父親是個牧師,家裡特別的窮,從小體弱多病,也打算做牧師。有一個人(據說是Rieamnn的中學校長)發現他在數學上比在神學上更有潛力,送給他一部 Legendre的數論書。Legendre是一個偉大的法國數學家,他的書十分的晦澀難懂。六天之後,Riemann就找到那個人把這本859頁的名著還了,說:“這本書的確十分的精彩,我已經看懂了。”這個時候Riemann只有14歲。

Riemann19歲的時候去Gottingen讀神學,平時也會聽一些數學的課程。他比較喜歡泡在圖書館裡。一次,他在那裡找到了Cauchy的分析的著作,如獲至寶,讀完之後,便坦然的決定放棄神學,從此開始讀數學了。

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Heroes In My Heart (40)

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天行健

君子以自強不息

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昨天有人批評道說這個系列的文章有一種過分吹捧天才的傾曏

歐覺得批評的特別的有道理

每一個數學家的成功除了他們的天分之外,更加讓人們欽佩的是他們完全忘我的瘋狂如自殺般的工作。

今天舉兩個牛人,Siegal(西格爾)是那種很聰明又很努力的,而Kodaira(小平邦彥)自己經常說自己天資不好,但是他從中學開始就是那種做事情一絲不苟全身心投入的人,他回憶自己第一次學習van de Wearden的《代數學》,幾乎學不懂,然後就開始抄書,一直到抄懂為止,可見的Feilds奬的人的學習方法也不見的先進,唯手熟爾。

Siegal曾經說過,他可以從早上9點起,研究數學,一直到深夜12點,不吃不喝,最後把一天的食物一並吃掉,弄得胃很不舒服。Siegal被Kodaira稱為“非常勤奮”,被Kodaira稱為勤奮,可見其勤奮成都是何等的可怕。

Kodaira一天的生活(1949年4月19日):

8:00起床,剃須,穿西服,外出早餐(玉米片,牛奶,咖啡);

散步到研究所,大約9:30;

9:40–10:40 Siegal的關於3體問題的課;

11:15–12:00 Weyl的討論班;

到食堂吃午飯;

坐車去Priceton,1:20–2:20在自己的討論班上講論文;

回家繼續寫論文;

5:30到街上的餐館吃飯;

回家繼續工作到深夜。

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Heroes In My Heart (41)

開始說說波蘭的數學家,從Banach開始, 最最偉大的波蘭數學家。

Banach在數學界的登場是一段美麗的傳說// :"-))

1916 年的一個夏夜,Steinhaus在一個公園裡散步,突然聽到了一陣陣的談話聲,更確切的是有幾個詞讓他感到十分的驚訝,當聽到“Lebesgue積分” 這個詞的時候,他就毫不猶豫的走曏了談話者的長椅,原來是Banach和Nikodym在討論數學。Steinhuas就這樣子發現了Banach,並把他帶到了學術界。他說:“Banach是我一生最美的發現。”

波蘭學派的人似乎喜歡在咖啡館裡討論數學,Kuratowski和 Steinhaus是有錢人,他們一般在高檔的羅馬咖啡館裡談論數學;Banach,Ulam和Mazur窮一些,整天呆在一個蘇格蘭咖啡館裡,那裡的老闆挺不錯,即使過了營業時間,也不會趕他們。這樣子很多年輕的數學家都來到這裡,每次有甚麼重大的發現,就紀錄在一個大的筆記本來,並保存在店裡,這就是著名的蘇格蘭手冊。當然,老闆對他們好的一個原因就是他們每次都可以消耗大量的啤酒,據說有一次聚會長達17小時,其間,Banach不停的飲酒, Ulam說Banach是難以超越的,英文的原文是difficult to overlast and to overdrink Banach。

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Heroes In My Heart (42)

一個故事說M.Stone的父親可愛的語言;另外講了一個Harvard的數學教授,這個人到底做過甚麼出色的工作,我也不知道,只是其中提到了30年代的教學情況,特別好玩。

1.

M.Stone寫了一本關於Hilbert空間的書,他的父親談到自己的兒子時,總是自豪的說:“我睏惑又很高興,我的兒子寫了一本我完全不理解的書。”

2.

1932年J.J.Gergen不的不在一門講授Fourier級數課程時,不使用一直收斂的概念,原因是Havard大學的數學系一致的認為一致收斂這個概念對本科生來說太難了。

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Heroes In My Heart (43)

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我不知道世人怎樣看我;可我自己認為,我好像只是一個在海邊玩耍的孩子,不時的為拾到更光滑些的石子或更美麗的些的貝殻而歡欣,而展現在我面前的是完全未被探明的真理之海。 ——Issac Newton

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這段話不同於他說的那段“站在巨人的肩上”,因為“肩上”那句話是他出來吹捧一下Hooke(胡克),或者說諷刺一下,那個時代總是為著各種東西的發明權而喋喋不休。

Newton 的一生落落寡合,沒有結婚,也沒有知心的朋友,人們結交他都是因為他很高的地位和淵博的學識。一個同事回憶說他只見過Newton笑過一次,當時,有一個人問Newton說Euclid的幾何原本如此的老朽,不知道有甚麼價值。對此,Newton放聲大笑。:-))

對很多人來說,牛頓的貝殻儘管光滑儘管美麗,確實不如一塊肥皂有用。數學家做的事情的確是這個樣子,一種孩子般的游戲,純粹的追求快感。 Newton之後的幾百年, Cambribge另一個大名鼎鼎的數學家Hardy也說過這種話:“從實用的觀點來判斷,我的數學生涯的價值等於零。”

既然扯到的Hardy就說說他的軼事吧。他這個人有著各種怪癖,譬如永遠不會希望見到鏡子之類的,每次到一個旅館,總是用毛巾把各個地方的鏡子都遮將起來。不說這些亂七八糟的,說一下子他用“數學”解決的恐船癥。

Hardy 每次做船的時候,總是怕沉了。克服這個東西的一個方法是,每次不得不坐船航行的時候,他會給同事發個電報或者明信片甚麼的,說已經搞定了Riemann猜想回來之後會給出細節的。他的邏輯是,上帝不會允許他被淹死,否則這又將是第二個類似於Fermat大定理的事情。

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Heroes In My Heart (44)

前天閑極無聊,去下載一個叫做百年大講堂(鳳凰中文台的節目)的東東看,其中是王詩宬老師的講座,講的是紐結。

這個以前看過若干遍了,但是看完之後依然就有一種衝動。

本來再已經寫好Hero系列中有王老師的,不過不打算來post,現在還是忍不住。

這兩次就說兩三個很小很小的事情,有歷史上的人物,有王老師。

平行的敘述。

:-))

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比做學問更重要的是做人。

Erdos的Wolf奬金由5萬美元之多,他卻只留下了720美元,其余的都捐給了以色列作為奬學金。他說:“我記得有人告訴我說720美元在我已經很多了。”

Baire 是個公認的大好人,由於數學上的貢獻,得到了瑞士頒發的一份奬金,有1000法郎之多,結果最後拿到了1500法郎。Baire就問他的朋友Montel 說:“竟然多了500法郎呀。我該怎麼辦,是應該給一位學生發奬學金,還是自己買一件外套?”Montel建議買外套。

王老師90年代初,得到了一份3萬元的奬金,他全部捐給了希望工程,90年代初3萬塊錢的概念大家是清楚的。

—-

再說一段王老師的評論,記得看過Atiyah的一個小冊子,他評論道Thurston能夠自如的看到高維的複雜圖形,Thompson可以“看”到一個群。 Thurston和Thompson都是得過Feilds奬的人。王老師給我們上課的時候,也做過這樣的評論,說只要聽懂了Thurston的一句話就可以寫一篇論文,E.Witten就是一個神。呵呵..不過他說得更有意義的是緊接著的評論,說數學家有很多種,一種是像Thurston這個樣子的,很聰明,所以做的工作很出色;另外一種是儘管天資不是很出眾,但是自己能夠耐得住寂寞,非常的刻苦,所以後來也是很出色的。

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Heroes In My Heart (23)

講幾個Einstein和數學家的事情

Einstein描述廣義相對論,用的數學就是彎曲空間上的幾何學,意大利的數學家Levi-Civita在這種幾何學上做出了突出的貢獻。所以,有人問Einstein他最喜歡意大利的甚麼,他回答是意大利的細條實心面和Levi-Civita。

Einstein是Minkowski的學生,曠了無窮多的課,至於多年以後,Minkowski知道了Einstein的理論的時候,感嘆道:“噢,Einstein,總是不來上課——我真的想不到他能有這樣的作為。”

一次,P.Halmos和妻子遇到了Einstein和他的助手,Einstein很想知道“她”是誰,助手就說是Halmos的妻子,然後Einstein又問Halmos是誰……Halmos最沒有面子的一次。

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Heroes In My Heart (24)

開始寫畢業論文了

先寫一個和論文有關係的東東

A.Coble 是上個世紀美國的院士,做代數幾何,一度很有影響。據稱,他有無窮多個博士論文的題目:當你證明瞭一個2維的情況的時候,他叫下一個博士生去證明3維的情況,然後叫下下個博士生去做4維的。後來有個叫Gerald Huff的博士,不但做了5維的情況,而且對一般的n也解決了。這就讓Coble的未來的無窮個博士無所事事了。Coble很怒。

講完了Einstein,繼續John von Neumann (馮.諾伊曼)應該是符合道理的,這個造計算機的數學家。

—當我們每次用電腦Game的時候,就應該對Neumann示以最崇高的敬意。—

von Neumann的就業態度

von Neumann移居美國的動機,很有特別的地方。他用了一種自己認為合理的方法,發現在德國將來的3年中,教授的職位的期望值是3,而候補的人數期望為40,這是一個不理想的就業前景,所以到美國去勢在必行。這就是他的根據,此時並沒有涉及到政治的形勢。

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Heroes In My Heart (25)

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阿基米德比荷馬更有想象力。——伏爾泰

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繼續馮.諾伊曼的錶演

von Neumann曾經碰到別人問他一個估計中國小學生都很熟的問題,就是兩個人相曏而行,中間有一隻狗跑來跑去,問兩個人相遇之後,狗走了多少的這種。應該先求出相遇的時間,再乘狗的速度。如果沒有甚麼記錯的話,小時候聽說過蘇步青先生在德國的一個甚麼公共汽車上,就有人問他這個問題,他老人家當然不會感到有甚麼睏難了。von Neumann也是瞬間給出了答案,提問的人很失望,說你以前一定聽說過這個訣竅吧,他指的是上面的這個做法。von Neumann說:“甚麼訣竅?我所做的就是把狗每次跑得都算出來,然後算出那個無窮的級數。”……

Banach在1927年參加一個數學的聚會的時候,他伙同眾多數學家,一起用伏特加灌Neumann,最終Neumann不勝酒力,去了厠所,估計是嘔吐。但是Bananch回憶道,當他回來繼續討論數學的時候,絲毫沒有打斷他的思路。

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Heroes In My Heart (26)

最後兩個關於馮.諾伊曼的故事

祝大家五一節愉快

von Nuemann的年紀比Ulam要大一些,不過兩個人是最好的朋友,經常在一起談論女人。包括他們坐船旅行,除了數學之外,就是旁邊的美女,每次 Nuemann就會評論道:“她們並非完美的。”他們一次在一個咖啡館裡吃東西,一個女士優雅的走過,Neumann認出她來,並和她交談了幾句,他告訴 Ulam這是他的一位老朋友,剛離婚。Ulam就問:“你干嗎不娶她?”後來,他們兩個結了婚。

一次Princeton舉行的物理演講,演講者拿出一個幻燈片,上面極為分散的排列著一些實驗數據,並且他試圖這些數據在一條曲線上。von Neumann大概很不感興趣,低聲抱怨道:“至少它們是在同一個平面上。”

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Heroes In My Heart (27)

五一節,休息一下

每天貼一個

:-)

數學有害健康,大家過節了還是不要看書的好。

下面是歷史上最天才的幾個數學家在這個時間軸上存在的長度:

Pascal 39歲;Ramanujan 31歲;Abel 27歲;Galois 21歲;Riemann 39歲。

身體重要的說。

數學家是天生的,不是造就的。——H.Poincare

de Moivre 21歲的時候,已經靠教數學為生,並且深信自己完全精通了這門學問。一個偶然的機會,他在一個公爵家裡做客,且好Newton送來了自己的《原理》,他信手翻了一下,驚奇的發現,數學竟然如此精深如此美麗的一門學問。這樣,他買下了這本書,儘管為了教學需要四處奔波,他還要撕下書頁,以便能夠帶在口袋裡,空閑時進行研究。

de Moivre(棣.莫佛)有個定理好像我們中學的課本裡就有,說的是一個複數n次方的事情。

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Heroes In My Heart (28)

來說一個古老一點的人物

Pascal 據說14歲的時候,就已經出席了法國高級數學家的聚會,18歲發明瞭一台計算機,是現在計算機的始祖。儘管如此,Pascal成年之後最終致力於神學,他認為上帝對他的安排之中不包含數學,所以完全的放棄了數學。35歲的時候,Pascal牙疼,不得不思考一點數學問題來打發時間,不知不覺間,竟然疼痛全無。於是,Pascal認為這是上天的安排,所以繼續開始做數學家。Pascal這次復出的時間不到一周,但是已經發現旋輪線的最基本的一些性質。爾後,他繼續研究神學。

神學也是Newton最終的選擇。 :-))

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Heroes In My Heart (29)

Kolmogorov(柯爾莫戈洛夫)是蘇聯最偉大的數學家之一,在很多很多的領域做出了開創性的工作;Cauchy(柯西)就不用介紹了,從中學開始我們就認識這個法國人了。

今天我們就來說這兩個姓柯的牛人

Kolmogorov 關於數學天賦的見解。當然,很大程度上我認為他想通過這段論述來吹噓一下。柯牛人認為,一個人作為普通人的發展階段終止的越早,這個人的數學天賦就越高。 “我們最天才的數學家,在四五歲的時候,就終止了一半才能的發展了,那正是人成長中熱衷於割斷昆蟲的腿和翅膀的時期。”Kolmogorov認為自己13 歲才終止了普通人的發展,開始成長為數學家;而Aleksandrov是16歲。

Lagrange曾經預見了Cauchy的天才,苦心的告誡Cauchy的父親,一定不要讓Cauchy在十七歲之前接觸任何數學書籍。這個巨象當年某些人不讓張無忌學武功(好像有點不恰當)。:-))

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Heroes In My Heart (30)

說幾個數學家作為教師的生涯吧,大部分出名的人物講課都不是太出色,或者說偶爾會很失敗。譬如說 Newton 當初就經常對著空空的講堂,他講東西第一不是太清楚,第二太難,所以Cambridge的學生沒有人喜歡他的課。

從一些大家不是太熟悉的人講起。

Mondelbrolt 是靠著畫分形出名的,其實他的叔叔,Mandelbrojt是個更為出色的數學家,曾經是Bourbaki最早的幾個成員。他做學生的時候,大老遠從波蘭到法國讀數學,去了之後精神上受到了嚴重的傷害,因為他選了Goursat的分析課,然而Goursat上課永遠用一種語氣,講述二三十年前就有的舊東西,聽了三周左右的課,Mandelbrojt感覺和自己夢想當中的課差的太遠,竟然哭了出來。不過,幾年後,Bernstein來到巴黎,安慰 Mandelbrojt說Goursat二十多年前就這麼講課。不過Goursat對人是很熱情的。

遙想當年Mandelbrojt那求知的感情,是多麼的純真。那種東西,似乎已經在也不屬於我們這個時代。


美麗是我們得數學家英雄們永恆的追求。 —-
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Heroes In My Heart (31)

還是有的數學家講課不錯的。

Lebesgue儘管開始研究的東西很奇怪,不過他的講課確實出奇的得受歡迎。

Picard則是個古怪高傲的人,他的老丈人是Hermite,兩個人都是對分析很感興趣。

和Lebesgue一起,是一件很開心的事。據說,Lebesgue的課,總是有無窮的人去聽課的,大部分人因為Lebesgue講課不但深刻,而且很有意思。一次,一個國外的學者來法國報告自己的工作,Lebesgue說你不用報告了,我替你報告吧。:-)

Picard 總給人一種高不可攀的感覺,令人不敢接近。每次Picard上課的時候,前面有一個戴有銀鏈子的校役引路,他高傲的踱入教室,在椅子上放有一杯水, Picard先喝一口水,然後開始講課,大約半個小時,他再喝一口水,一個小時以後,那個銀鏈子校役就會來請他下課。

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Heroes In My Heart (32)

林德曼

Lindemann,也就是證明瞭π的超越性的人,據說是歷史上講課最爛的的幾個人之一。

此處收集他的故事兩則,一個是說他講課,一個回憶了一下他在巴黎求學的兩件小事,還是蠻可愛的。

傳說中Lindemann講課課大部分時間根本就聽不清,聽清的話都是不可理解的聽不懂的話,而少數情況下,他講的話又清楚又聽的懂,那就是錯話。

Lindemann到巴黎學習的時候,聽過Bertrand和Jordan的課,當時學數學的人太少,儘管Jordan在法國算是領袖級的數學家,聽他的課的人只有3個,偶爾會達到4個,其中卻中一人是因為教室裡暖和。

Lindemann還曾拜訪過Hermite,讓他難忘的一點事,那裡有一把椅子,是當年Jacobi坐過的。:-))

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Heroes In My Heart (33)

優秀的數學家在定理或理論之間看到了類似

卓越的數學家則從類似中間看到了類似

狟 anach

毋庸置疑,Lefschetz和Wiener都是這種可以從相似之間看到相似的數學家

不過他們的講課技巧實在是不能讓人恭維。

Rota 曾講了一個Lefschetz的故事,關於他的課是如何難懂得,因為他經常語無倫次。這是幾何課的開場白:“一個Riemann曲面是一定形式的 Hausdroff空間。你們知道Hausdroff空間是甚麼吧?它也是緊的,好了。我猜想它也是一個流形。你們當然知道流形是甚麼。現在讓我給你們講一個不那麼平凡的定理–Riemann-Roch定理。”要知道第一節Riemann曲面的課如果這樣進行的話,恐怕Riemann復生也未必可以聽懂。:-)

Wiener儘管是個天才,卻是那種不善於講課的那種,總是以為把真正深刻的數學講出來一定要寫一大堆積分符號。有一個關於他和中文的事情, Wiener天真的認為自己懂一種漢語,一次在中國餐館,他終於有了施展的機會,但是服務員卻根本不知道他講的是漢語。最後, Wiener不得不評論:“他必須離開這裡,他不會說北京話。”……

下一次說一些法國數學家的事情。

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Herose In My Heart (12)

Gottingen的傳說

9. H.Weyl 剛去Gottingen的時候,被拒之”圈”外。所謂的圈,是指Toeplitz, Schmidt, Hecke和Haar等一群年輕人,大家一起談論數學物理,很有貴族的感覺。一次,大家在等待Hilbert來上課,Toeplitz指著遠處的Weyl 說:“看那邊的那個傢伙,他就是Weyl先生。他也是那種考慮數學的人。”就這樣子,Weyl就不屬於“圈”這個集合了。這個故事是Courant講的, Haar當時是Hilbert的助手,Gottingen當時的人們無一不認為他將是那種不朽的數學家。但是事實證明,Weyl的偉大無人能比,儘管 Haar在測度論上貢獻突出,但是Courant還是說他和Weyl“根本沒法相比”。

10. von Karman(馮.卡門)通過Haar的介紹來到Gottingen,等到Haar去了匈牙利之後,他很快成為“圈”內的領袖。圈外人Weyl再一次證明瞭他的優秀,他和Karman同時愛上了才貌雙全的一個女孩,並且展開了一場競爭。最終圈內人都感到特別的沮喪,因為那個女孩子選擇了Weyl。

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Heroes In My Heart (13)

Gottingen講得太多了吧

先停幾次,多講幾件爛事

然後再講

hiahia

先介紹一個人,L.V.Ahlfors, 和另一個美國的數學家共同分享了第一屆的Feilds奬。歐知道他的一部分工作,就是展示給大家復分析和雙曲幾何之間的深刻聯繫,把曲率之類的幾何概念引入了復分析,給出了Schwarz引理的幾何上的漂亮解釋。他還在共形映射,Riemann曲面領域都是貢獻非凡。

下面是一個很傳奇的事情,歐希望那些認為數學沒有“用”的看看數學家是如何認為數學有用的。hehe

L.V.Ahlfors說這些話的時候,正是二戰受封鎖的時候“Feilds奬章給了我一個很實在的好處,當被允許從芬蘭去瑞典的時候,我想搭火車去見一下我的妻子,可是身上只有10元錢。

我翻出了Fields奬章,把它拿到當鋪當了,(!!!!) 從而有了足夠的路費…… 我確信那是唯一一個在當鋪呆過的Feilds奬章……”

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Heroes In My Heart (14)

在講幾個小事情,都是蠻有意思的那種

明天繼續Gottingen

這一個是因果循環的

Hilbert 寫的第一篇關於Dirichlet原理的文章,希望Fredholm能夠欣賞,但是Fredhold根本就沒看;F.Riesz寫了很多文章,希望 Hilbert能夠欣賞,但是Hilbert根本就沒看;M.Riesz寫了很多文章,希望F.Riesz能夠欣賞,但是F.Riesz根本就沒看……

再來一個蘇聯大牛的

39年的時候,Kolmogorov決定在冰水中游泳,結果以住院告終,醫生一致認為他差點點死掉;但是,70歲的時候,突然決定到莫斯科河裡游泳,仍然是冰水,這一次卻沒有事情。

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Heroes In My Heart (15)

Gottingen 的傳說

開始講一下Edmund Landau的故事。

11. E.Landau是後來的Gottingen的數學系系主任,此人不僅解析數論超強,而且超級有錢。曾有人問他怎麼能在Gottingen找到他,他很輕描淡寫的說:“這個沒有任何睏難,它是城裡最好的那座房子。”

12. Gottingen 1909-1934年的數學系主任是Edmund Landau。Landau的工作習慣很奇怪,用6個小時工作,6個小時休息,如此交替。他收到過無窮多關於證明瞭Fermat大定理的信件,後來實在沒有精力處理,就印了一批卡片,樣子大概是這個樣子的

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親愛的_____

謝謝您寄來的關於Fermat大定理的證明。

第一個錯誤在

______頁 ______行

這使得證明無效。

E.M.Landau

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儘管有很多的稿件都退了,據說剩下的還有3米多高。

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Heroes In My Heart (16)

Gottingen的傳說

繼續講Landau的故事和Landau講過的故事

13.E.Landau 是比較自大的那種人,根本看不起物理化學,包括應用數學,他把任何和數學的應用有關的東西貶為“潤滑油”。一次Steinhaus的博士考試需要一個天文學家的提問。Landau似乎很關心,就問Steinhaus都被問了甚麼問題,當他知道是有關3體問題的微分方程的時候,大聲的說:“啊,如此說來,他知道這個.……”

14. A.Rosenthal曾經和Landau住一個房間。一天,Landau回到房間曏Rosenthal抱怨老年的Dedekind和他絮叨了一下午的廢話,Dedekind狠狠的抱怨當年Guass對他不公平,在他的博士學位考試時,問了一些特別難的問題。

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Heroes In My Heart (17)

Gottingen的傳說

兩個間接的和Gottingen的人有關係的事情

Dehn是Hilbert最得意的弟子之一,曾經率先解決了一個Hilbert問題。

15.Max Dehn離開Gottingen躲避納粹追捕的時候,經過蘇聯,換火車的時候,在海參崴逗留了一陣,閑來無事去了當地的圖書館,這裡的數學書僅僅占一個架子,全部都是Springer-Verlag的黃皮書。

16.Poincare 也曾去Gottingen演講,順便攻擊了一下Cantor的集合論,Zermelo當時恰好證明的每個集合都可以良序化,Poincare演講的時候他恰好坐在靠近Poincare腳邊的位子上,然而Poincare並不認識Zermelo,他大喊道:“Zermelo那個幾乎獨創的證明也應該徹底的毀掉,扔到窗外去!”Zermelo本來就性情古怪暴躁,那天更是絕望盛怒。Courant甚至認為Zermelo一定會在那天吃正餐的時候殺死 Poincare。

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Heroes In My Heart (18)

Gottingen的傳說

17.Caratheodory 是希臘的一個富人子弟,後來在測度等很多方面有著重要的貢獻,北大圖書館還有他的一本講復變函數的書,非常的幾何化,特別優美。他當初是一個工程師,26 歲突然放棄了這樣一個有前途的職業來學習數學,眾人很不理解,他說:“通過不受束縛的專心的數學研究,我的生活會變得更有意義,我無法抗拒這樣的誘惑。” 他選擇的學校是Gottingen.

18. W.F.Osgood是原來Havard的數學教授,來中國講過課,我這裡還有他在中國的講稿:-)。他也是Gottingen畢業的,娶了一德國姑娘,在美國保持著德國的傳統。大概是在Gottingen受的影響太大,Osgood 做事都模仿F.Klein。他留著歐洲式的頭髮,抽烟的時候不停的用小刀戳雪茄,一直抽到發苦的烟蒂頭。

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Heroes In My Heart (19)

Gottingen的傳說

從明天開始,再也不說Gottingen了

19.由於納粹對猶太人採取的政策,很多數學家都離開了Gottingen。一次納粹的教育部長問Hilbert說Gottingen的數學現在怎麼樣了, Hilbert說:“Gottingen的數學,確實,這兒甚麼都沒有了。”Gottingen從那時開始一蹶不振。

20. 這一個幾乎和Gottingen沒有甚麼關係,很多數學家都是這個樣子,開始的時候自己的工作的不到承認的,譬如說S.Lie當初的李群,Cantor當初的集合論,等等。

Grassmann 最初是一個預科學校的教員,儘管那個時候,他就做出了反交換代數這一大堆重要的東西,但是那個時代數學家從來不曾重視他的成果。Grassmann自己不的不放棄數學這個沒有前途的職業,化了不少功夫在印度的梵文,把一個叫做Rig-Veda的印度古經譯成了德文。所以Grassmann在當時的語言界受到了更多的尊重。

在Gottingen的圖書館裡有一本Grassmann的寫的維數論,標題頁上面用鉛筆寫著Minkowski的名字,序言後的腳註是:“書付印時作者已去世。”Minkowski用幾行字,清楚的錶達了Grassmann的成就:“新版本將比三十多年前收到更多的尊重。”

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Heroes In My Heart (20)

開始講述Einstein和他的廣義相對論

作為從Gottingen的故事到其他的故事的一個過渡

選一句永遠讓我心馳神往的話

關於這個宇宙最讓人難以理解的地方就是她竟然是可以被理解的。——Albert Einstein

1.

Einstein 構思廣義相對論的時候,儘管他的數學家朋友教了他很多Riemann幾何,他的數學還是不盡如人意。後來,他去過一次Gottingen,給 Hilbert等很多數學家做過幾次報告,他走不久,Hilbert就算出來了那個著名的場方程,Hilbert的數學當然比Einstein好很多。不久,Einstein也得出來了,有人建議Hilbert考慮這個東西的署名權問題,Hilbert很坦誠的說:“Gottingen馬路上的每一個孩子,都比Einstein更懂得四維幾何,但是,儘管如此,發明相對論的仍然是Einstein而不是數學家。”

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Heroes In My Heart (21)

說兩個歐聽來的故事

講的是這個世界上最漂亮的一套理論

廣義相對論

據說,Einstein的場方程的第一個球對稱的解,也就是Schwarzschild解,是同名的這個人,在一戰的戰壕裡給出的。Schwarzschild是Gottingen的天文學的教授。

Edditnton 是一個偉大的天文物理學家,下面這個故事是講他如何吹牛的Albert Einstein的廣義相對論發錶沒有多久,有記者去採訪Eddington,說聽說世界上只有三個人懂得這套高深的理論,不知這三個人都是誰? Eddington低頭沉思,很久沒有回答。那個記者忍不住又問了一遍,Eddington說:“我正在想誰是第三個人……”

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Heroes In My Heart (22)

謝謝那些每天都來讀我的文章的人

這篇送給我自己了

希望那些偉大的人們在天有靈保佑我吧

這個故事是一個gg告訴我的:-),還是講Einstein

不過沒有提到很地道的數學家

似乎每一個偉大的人物都以和Einstein交談過感到無比的光榮。楊振寧提到他當初見Einstein的時候,過於激動,以至於事後根本不知道自己說過甚麼Einstein又說過甚麼。Lev Landau,蘇聯最偉大的那個物理學家,就說自己當年參加某會議的時候,有幸和Einstein說過幾句話,而有某個認識Landau的人說 Landau純屬幻想,當時此人和Landau一起,坐在那次開會的大廳的最後幾排,連聽都聽不清,根本不可能談話。可見Landau對Einstein 的景仰程度。

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心血來潮逛到批踢踢數學版,發現這篇北大來的滿有趣的數學家軼事,所以貼來分享。有點長,可以慢慢看。

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作者:ukim

序,廢話幾句。

多年以前,我有一個很宏偉的計劃,打算寫一本厚厚的書。這本書有三部,第一部寫那些數學牛人們的傳奇動人荒誕不經的軼事,第二部充滿著歷史上最最經典的定理最最美妙的證明,第三部去真實的紀錄北大數學的這群爛人,寫他們那臟亂的宿捨和蕪雜的生活。這一直是一個理想,直到我動手寫這些文字的時候,我知道,這將永遠是一個美好的夢。所以,這裡只是那個計劃的一小部分,講述的是那些虔誠的人做過的虔誠的事。

第一次因為數學感動,是聽到大人們講華羅庚先生的故事,不知道那時候多大,隱約記得他們說華先生去蘇聯算一個衛星的東西,怕他們把自己的算法偷去,於是所有的東西都是心算。故事的真實性自然不可信,不過這很讓小孩子神往。我要講述的也是這麼一些事情,很多都是高中和大一大二讀過的,那是一段美妙的時光。美妙的東西希望大家一起分享,與人樂樂。

最後,按照寫序的一般格式,我來感謝一下應該感謝的人們。感謝knots陪我一起扭傷腳腕一起看遍好萊塢的美女,感謝hyson和我一起用兩塊八的牛奶煮面,感謝alpha和我兩次同居在那簡陋的破屋裡凍得瑟瑟發抖,感謝doudoulf那銀玲般的笑聲,感謝justinlee, mashimaro, aixuexi, transferrer和luk在每一個漆黑的夜晚大家共同進行著富有想象力的意淫。是他們的存在,回憶這個詞才有了色彩。

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Heroes In My Heart (1)

Bernoulli 家族 (1)

Euler停止了生命,也就停止了計算。——de Condorcet

這是一個生產數學家和物理學家的部落,有著十幾位優秀的科學家都擁有這個令人驕傲的姓氏。

1.John Bernoulli在1696年把最速降線問題在一個叫做《教師學報》的雜誌上面提出,公開挑戰主要是針對他的哥哥Jacobi.Bernoulli,這兩個人在學術讓一直相互不忿,據說當年John求懸鏈線的方程,熬了一夜就搞定了,Jacobi做了一年還認為懸鏈線應該是拋物線,實在是很沒面子。那個雜誌好像是Leibniz搞得,很牛,歐洲的牛人們都來做這個東西。到最後,Jhon收的了5份答案,有他自己的,Leibniz的,還有一個 L.Hospital侯爵的(我們比較喜歡的那個L.Hospital法則好像是他雇人做的,是個有錢人)然後是他哥哥Jacobi的,最後一份是蓋著英國郵戳的,必然是Newton的,John自己說“我從它的利爪上認出了這頭獅子.”據說當年Newton從造幣廠回去,看到了Bernoulli的題,感覺渾身不爽,熬夜到凌晨4點,就搞定了。這麼多解答當中,John的應該是最漂亮的,類比了Fermat原理,用光學一下做了出來。但是從影響來說, Jacobi的做法真正體現了變分思想。

2. Bernoulli一家在歐洲享有盛譽,有一個傳說,講的是Daniel Bernoulli(他是John Bernoulli的兒子)有一次正在做穿過歐洲的旅行,他與一個陌生人聊天,他很謙虛的自我介紹:“我是Daniel Bernoullis。"那個人當時就怒了,說:“我是還是Issac Newton呢。”Daniel從此之後在很多的場合深情的回憶起這一次經歷把他當作他曾經聽過的最衷心的贊揚。

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Heroes In My Heart (2)

Bernoulli家族 (2)

3. John & Jacobi這兩個Bernoulli人,都算不出來自然數倒數的平方和這個級數,Euler從他老師John那裡知道的,並且給出了π2/6這個正確的答案。

4. 法國有一個哲學家,叫做Denis Diderot,中文的名字叫做狄德羅,是個無神論者,這個讓葉卡捷琳娜女皇不爽,於是他請Euler來教育一下Diderot,其實Euler本來是弄神學的,他老爸就是的,後來是好幾個叫Bernoulli的去勸他父親,才讓Euler做數學了。Euler邀請Diderot來了皇宮,他這次的工作是證明上帝的存在性,然後,在眾人面前說:“先生,( a + bn ) / n = x, 因此上帝存在;請回答!”Diderot自然不懂代數,於是被羞辱,顯然他面對的是歐洲最偉大的數學家,他不得不離開聖彼得堡,回到了巴黎……

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Heroes In My Heart (3)

四色定理

證明是一個偶像,數學家在這個偶像前折磨自己。

獮.Eddington

1.一次拓撲課,Minkowski曏學生們自負的宣稱:“這個定理沒有證明的最要的原因是至今只有一些三流的數學家在這上面花過時間。下面我就來證明它。”…….這節課結束的時候,沒有證完,到下一次課的時候,Minkowski繼續證明,一直幾個星期過去了……一個陰霾的早上,Minkowski跨入教室,那時候,恰好一道閃電划過長空,雷聲震耳,Minkowski很嚴肅的說:“上天被我的驕傲激怒了,我的證明是不完全的……"

2. 1942 年的時候,Lefschetz去Havard做了個報告,Birkhoff是他的好朋友,講座結束之後,就問他最近在Princeton有沒有甚麼有意思的東西。Lefschetz說有一個人剛剛證明瞭四色猜想。Birkhoff嚴重的不相信,說要是這是真的,就用手和膝蓋,直接爬到Princeton的 Fine Hall去。

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Heroes In My Heart (4)

做數論的人 (1)

從實用的觀點來判斷,我的數學生涯的價值等於零。——Hardy

1. Lev Landau這位俄國最偉大的物理學家驚嘆道:“為甚麼素數要相加呢?素數是用來相乘而不是相加的。”據說這是Landau看了Goldbach(哥德巴赫)猜想之後的感覺。術業有專攻呀……

2. Graham說:“我知道一數論學家,他僅在素數的日子和妻子同房:在月初,這是挺不錯的,2,3,5,7;但是到月終的日子就顯得難過了,先是素數變稀,19,23,然後是一個大的間隙,一下子就蹦到了29,……”

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Heroes In My Heart (5)

做數論的人 (2)

3. 由於Fermat大定理的名聲,在New York的地鐵車站出現了亂塗在墻上的話:x^n + y^n = z^n 沒有解對此我已經發現了一種真正美妙的證明,可惜我現在沒時間寫出來,因為我的火車正在開來。

4. Hilbert 曾有一個學生,給了他一篇論文來證明Riemann猜想,儘管其中有個無法輓回的錯誤,Hilbert還是被深深的吸引了。第二年,這個學生不知道怎麼回事死了,Hilbert要求在葬禮上做一個演說。那天,風雨瑟瑟,這個學生的家屬們哀不勝收。Hilbert開始致詞,首先指出,這樣的天才這麼早離開我們實在是痛惜呀,眾人同感,哭得越來越凶。接下來,Hilbert說,儘管這個人的證明有錯,但是如果按照這條路走,應該有可能證明Riemann猜想,再接下來,Hilbert繼續熱烈的冒雨講道:“事實上,讓我們考慮一個單變量的復函數…..”眾人皆倒。

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Heroes In My Heart (6)

做數論的人 (3)

5. 有一個人叫做Paul Wolfskehl,大學讀過數學,痴狂的迷戀一個漂亮的女孩子,令他沮喪的是他被無數次被拒絕。感到無所依靠,於是定下了自殺的日子,決定在午夜鐘聲響起的時候,告別這個世界,再也不理會塵世間的事。Wolfskehl在剩下的日子裡依然努力的工作,當然不是數學,而是一些商業的東西,最後一天,他寫了遺囑,並且給他所有的朋友親戚寫了信。由於他的效率比較高的緣故,在午夜之前,他就搞定了所有的事情,剩下的幾個小時,他就跑到了圖書館,隨便翻起了數學書。很快,被Kummer解釋Cauchy等前人做Fermat大定理為甚麼不行的一篇論文吸引住了。那是一篇偉大的論文,適合要自殺的數學家最後的時刻閱讀。Wolfskehl竟然發現了Kummer的一個bug,一直到黎明的時候,他做出了這個證明。他自己狂驕傲不止,於是一切皆成烟雲……這樣他重新立了遺囑,把他財產的一大部分設為一個奬,講給第一個證明Fermat定理的人10萬馬克……這就是Wolfskehl奬的來歷。

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Heroes In My Heart (7)

Gottingen的傳說

Gottingen市政廳底層的墻上言不諱的鎸刻著:“Gottingen以外沒有生活。”

1. 1854 年,Riemann為了在Gottingen獲得一個講師的席位,發錶了他劃时代的關於幾何學的演說。由於當時聽這個演說的人很多是學校裡的行政官員,對於數學根本就不懂,Riemann在演說中僅僅只用了一個數學公式。Weber的回憶說,當演說結束後,Gauss懷著少見的錶情激動的稱贊 Riemann的想法。如果讀讀Riemann的講稿,就會發現那幾乎就是哲學,儘管這樣子,當時的觀眾中只有一個人可以理解Riemann,那就是 Gauss。而整個數學界,為了完善消化Riemann的這些想法,卻話了將近100年的時間。

有人說Riemann的著作,更接近於哲學而不是數學,甚至在一開始,歐洲的很多數學家認為Riemann的東西是一種家庭出版物,更接近物理學家的看法,與數學家沒有關係。一次, Helmholz和Weiestrass一起外出度假,Weiestrass隨身帶了一篇Riemann的博士論文,以便能在一個山清水秀的環境裡靜靜的研究這篇他認為是複雜又宏偉的工作。但是Helmholz大惑不解,他認為,Riemann的文章再明白不過了,為甚麼Weiestrass作為數學家要這麼化功夫呢?

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Heroes In My Heart (8)

Gottingen 的傳說

2. Klein 上了年紀之後,在Gottingen的地位幾乎就和神一般,大家對之敬畏有加。那裡流行一個關於Klein的笑話,說Gottingen有兩種數學家,一種數學家做他們自己要做但不是Klein要他們做的事;另一類數學家做Klein要做但不是他們自己要做的事。這樣Klein不屬於第一類,也不屬於第二類,於是Klein不是數學家。

3. Wiener去Gottingen拜訪這位老人家,他在門口見到女管家時,問道教授先生在麼?女管家訓斥道,樞密官先生在家。一個樞密官在德國科學界的地位就相當於一個被封爵的數學家在英國科學界的地位,譬如說Newton。Wiener見到Klein的時候,感覺就像去拜佛,後者高高在上,Wiener 的描述是“對他而言時間已經變得不再有任何意義”。

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Heroes In My Heart (9)

Gottingen的傳說

4.關於Klein還有一個故事,當初王詩宬老師請了一個法國的拓撲學家來北大做報告,他講的東西和雙曲幾何有些關係,半路上,突然講到了Klein和 Poincare的故事,說是Klein和Poincare都在研究自守函數甚麼的,對於2維的的情況,Poincare把自己的結果用Fuchs的名字來命名,因為這個人的東西他曾經看過,並且有很大的影響,Klein感到特別的不爽,他也得到了這樣的結果然而Fuchs本人對此卻一無所知,如此冠名,他自然覺的很不妥。後來,他和Poincare分別做3維的情況,無奈自己不是Poincare那樣的天才,用功過度,體力不支,身體都垮了,從此結束了自己創造性的數學生涯。Poincare自己也不在乎這麼東西,於是把3維自己得到的群命名為Klein群。

當時王老師也特別想將這個故事,自己躊躇了半天,後來說這個東西是法國人很有面子的一件事情,還是讓這個法國人講了。

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Heroes In My Heart (10)

Gottingen的傳說

開始講D.Hilbert吧

5. David Hilbert並不是Gottingen畢業的。19世紀80年代,Berlin大學的博士論文答辯,需要2名學生作為對手,他們曏你不停的發問。 Hilbert的一個對手是Emil Wiechert(埃米爾.魏恰特),後來是最著名的地震學家。那時候,德國(也許叫做普魯士)的大學教授特別少。Berlin之後3名數學教授,一般的大學至多2個。

Hilbert的博士宣誓儀式,校長主持:“我莊嚴的要你回答,宣誓是否能使你用真誠的良心承擔如下的許諾和保證:你講勇敢的去捍衛真正的科學,將其開拓,為之添彩;既不為厚祿所驅,也不為虛名所趕,只求上帝真理的神輝普照大地,發揚光大。”

歐很想知道現在北大的授予博士儀式是不是也有類似的話。

6. Hilbert上了年紀的時候,一次聽到一群年輕人正在談論一個他知道數學家。那時候,Minkowski這些他很熟的人,有很多都已經故去。他特別關心正在被談論的這個人,當大家說完這個人有幾個孩子之類的事情之後,他就問說:“…他還‘存在’麼.…….”

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Heroes In My Heart (11)

Gottingen的傳說

7.一次在Hilbert的討論班上,一個年輕人報告,其中用了一個很漂亮的定理,Hilbert說“這真是一個妙不可言(wunderbaschon)的定理呀,是誰發現的?”那個年輕人茫然的站了很久,對Hilbert說:“是你.……”。

8. Gottingen廣為流傳的一個關於Minkowski的故事,說是他在街上散步,發現一個年輕人正在默默想著某個很重要的問題,於是Minkowski輕輕的拍拍他的肩膀,告訴他“收斂是肯定的”,年輕人感激而笑。

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好久沒去柯裕棻的網誌了,剛剛隨手逛到這一篇滿有趣的小品。十幾歲的時候我也非常喜歡文具行,看到一堆一堆的小東西就覺得很想去研究,但沒想到有人可以把這件小事寫得如此生動...... 恩,有空看看吧。:)

原文

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有誰喜歡買文具嗎?有誰會因為買了一枝行雲流水的筆或一只俐落的橡皮擦而高興一整天呢?一定有人總是不斷尋找一種正確規格的筆記本,或是一種恰到好處的紙張觸感吧?有人非常在意鉛筆的狀態嗎?有人會為了膠水瓶蓋始終不長進而煩躁嗎?

又有多少人,只要隨便買個小文具用品,例如新出產的迴紋針,就可以重新打起精神來呢?

我正是這樣的人。我愛文具行。

文具行總是開在學校旁邊,它是與學校相生相息的商店。說起來,這種商店類別沒有什麼空間設計。這門生意不需要特別的光彩和氛圍,照明就是老老實實的日光燈,店的狀態又規矩又凌亂,感覺上零零碎碎,侷促著,一種坐辦公桌的心情。四面的牆上陳列了各種檔案夾,走道中間的島櫃擺滿了鉛筆盒和夾子類的小東西,另外又一層一層掛著許多貼紙、書籤和吊繩飾品的膠板,筆櫃則一定擺在老闆可以不時查看的位置,上面的幾本計算紙被試筆的人塗得密密麻麻的,畫的都是圓圈圈,是遠古的人類最直接出手的文字雛型。

小東西,小東西,無數的小東西,整個房子堆滿了十塊廿塊的零碎小物,萬一不小心打翻幾百個釘書針,真的覆水難收。

文具行是一個愉快的場所,它簡單、多彩而且豐足,它裡面所有的物品都有明白的功能,都許一個完滿解決的承諾。每一隻筆看起來都像是更端正的字,每一本筆記像是更清楚的知識,每一捲膠帶是更緊密的連結,便利貼是更有效率的小抄,檔案夾是更有組織的分類,長尾夾是更穩固的堅持,還有更多說不出所以然的小東西,怎麼看都猜不出用途,但它堂而皇之堆在那裡,就自有其存在的必要和理由,不可小覷,正如同 0.38 和 0.5 的筆蕊那麼斬釘截鐵的不同。

我現在看見文具行裡一整疊九宮格宣紙和少女漫畫墊板的時候,心裡還是會有想買的衝動。十五元一張的圖案小貼紙,儘管不知道可以貼在哪裡,常常是想也不想就買了下來。色彩柔美的鉛筆盒、桃子香氣的簽字筆、摻了亮粉的彩色鋼珠筆、草莓造型的橡皮擦,這些東西還是像八歲的時候一樣叫我動心。

出國去的時候我也特別喜歡逛文具行,有些文具幾乎全世界都一樣,有些則是特別帶著那個社會的道理。在美國非常通用某種黃底藍線的筆記本和黃色鉛筆,感覺很安分守己,粗樸,保守,恰恰像它的文化。日本正好完全相反,連一盒自動鉛筆的筆心包裝都精雕細琢得令人捨不得打開,整間文具行閃閃爍爍宛若童話世界,一走進去就目眩神迷忘了出路,完全體現了這個文化的纖細和偏執。

我特別喜歡空白的隨身型小筆記本,雖然根本沒有那樣多的想法可以紀錄,買的時候還是覺得很雀躍,彷彿多一本在抽屜裡存著,就多一種思考的可能,它們那種空蕩蕩的白,比我自己的腦子更自由。我買許多粉紅色粉藍色的筆,因為改作業的時候我喜歡淡一點的筆,如此那訂正和批改的語氣就不特別強烈了。我喜歡各式各樣的鉛筆,一枝一枝削得乾乾淨淨,躺在抽屜裡,像不會犯錯的好孩子,即使犯了錯,橡皮擦輕輕就擦掉了,一點也不沉重。

你的桌上有哪些文具呢?哪些是你愛不釋手的呢?

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相信很多人應該都在酪梨壽司和女主人的沙龍看到這篇文章了,內容如下,是關於兒童被性侵害的案件。

前一陣子幫一個朋友校稿紀錄片字幕,關於家庭暴力。我這人很膽小又滿脆弱,只要看一點點就似乎可以感受到那些悲傷和恐懼,很難承受。童年並不總是愉悅無憂,而且有些傷痕會留著一輩子。再轉錄一次白雪公主的故事,希望我們大家一起來關懷孩子保護孩子,發揮個人小小的影響力,讓他們健康快樂的長大。

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捐款時另有兩個計劃,分別是受暴婦幼庇護和少女圓夢工程,大家可以自行選擇。我後來是捐給少女圓夢工程

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一開始,我以為她就跟我以前教過性情安靜的孩子一樣,沒什麼特別,如果不是因為那天她拿到作文簿時的反應,我想我永遠沒有機會進到她的心裡。

她 那次的作文改寫了白雪公主的故事,說白雪公主因為貪吃,誤吃了巫婆的毒蘋果,從此之後就變成了一個又醜又噁心的巫婆,再也不可能是白雪公主了。我在文章後 有這樣一段評語:「白雪公主不是故意的,她的心既不醜也不噁心,她只是不小心。我想,她的心仍一直是個純潔又天真的公主吧!」

她拿到作文簿之後,一直哭一直哭一直哭,哭到說不出任何話,我望著泣不成聲的她,覺得自己的淚也要跟著掉了下來。後來,我沒有再問她任何事,也沒有跟她說任何話,只留了一張字條,寫下我的電話和電子郵件信箱,拍拍她的肩膀就去上下一堂課了。

下課後我繞回教室,看見她跟往常一樣靜靜坐在位置上,彷彿剛才什麼都沒發生過,只是一場夢。可是那兩天,我的腦海裡不斷出現她哭得肝腸寸斷的景象,我一直想:這孩子發生了什麼事?她故事中的白雪公主遭遇了什麼事?

就在我留給她電子郵件信箱的2天後,我收到了她的e-mail。

一開始是說故事……
白雪公主很善良,不太會討厭別人,不過她因為從小都被一些叔叔伯伯打,所以她討厭老男人。
不過後來她遇到一個對她很好的老男人,不但很疼她,還會給她蘋果吃。
後來白雪公主發現那個好的老男人其實是巫婆變的,不想再吃他給的毒頻果,可是來不及了……。
白雪公主因為吃太多毒頻果已經變成又醜又噁心的老巫婆了!

我一邊看著她寫白雪公主的故事一邊跟她對話,慢慢明白這幾年發生在她身上的事。原來是房東的張伯伯後來變成了她的繼父,可是在變成繼父之前就已經對她進行性侵害,這樣的傷害甚至在張伯伯和她母親結婚後變本加厲。她不喜歡、不願意、甚至覺得噁心,可是她走不掉。

通信的期間,她依舊來上課,依舊一如往常安安靜靜坐在位置上,可是我總是想像著這個女孩只是軀殼,她並沒有將心和靈魂帶來學校。

最近,她晚上寄給我的e-mail變成了安慰與擔心……。
老師,這是我第一次跟人家說這件事,妳不要跟別人說。
老師,妳不用擔心,其實事情沒有妳想得嚴重。
老師,我下學期升上國中媽媽就要讓我住校了,就不會有事了。
老師,妳真的要答應我不能說喔,我媽媽很可憐,好不容易有一個家,如果妳說出去,我們的家就沒了。
老師,如果妳說了,大家就會討厭我,會很討厭很討厭,妳不要讓我被討厭。
老師,謝謝妳,只有妳知道了這件事之後還會覺得我是白雪公主……

是的,我看見她既脆弱又善良的心,看見一個無助的迷失公主在森林中徘徊。她的信常常讓我落淚,我不懂一個12歲的孩子為什麼要獨自承受這麼大的傷痛?而我而我,我這個她口口聲聲叫著的「老師」卻一點都無法替她承擔傷痛……。

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